Difference entre morphisme et bijection
Je remarque souvent aupres des gens avec qui je travaille une erreur, selon laquelle bijection et un morphisme (isomorphisme ou endomorphisme) sont synonymes.
Il s’agit d’une erreur, car si tout morphisme est une bijection, la reciproque n’est pas vraie. En effet, la notion de bijection met en rapports des elements d’ensembles donnes. La notion de morphisme rajoute une information au niveau des lois internes a ces ensembles. Considerant une fonction f d’un ensemble E vers un ensemble F, munis de lois internes T et ¤, on a:
f(x T y) = f(x) ¤ f(y)
Prenons un exemple simple, en notant R+ l’ensemble des reels positifs:
La fonction x –> x² est un bijection de R+ dans R+.
La fonction x –> exp(x) est egalement une bijection de R+ dans R+. Mais on a une information supplementaire: exp(x+y) = exp(x).exp(y). La fonction exp est plus qu’une bijection, c’est un morphisme de (R+, +) dans (R+, .).